LAS TRES GEOMETRÍAS CLÁSICAS.

LAS  TRES GEOMETRÍAS CLÁSICAS.

GEOMETRÍA EUCLIDIANA O PLANA. El primer texto axiomático con fundamento lógico,  escrito por el hombre, fue realizado por Euclides -. Nació  alrededor del año 325 AC y murió alrededor de 265 AC en Alejandría, Egipto-. Su trabajo se fundamentó en cinco axiomas a partir de los cuales elaboró trece manuscritos en papiro, que los llamó libros, equivalentes en la actualidad a trece capítulos, que los dividió en: seis dedicados a la geometría plana, tres a la geometría del espacio, cuatro a los que en su época se llamaban los números inconmensurables, hoy números irracionales y tres libros dedicados a operaciones aritméticas con segmentos.

Posteriormente, David Hilbert, en el año 1899 publica una obra sobre la geometría Euclidiana con el nombre de “FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA”, construida con base en un desarrollo axiomático, enunciando veintiún postulados a partir de conceptos intuitivos como son punto, línea y plano, que Euclides siempre intentó definir,  lo que conducía a errores de contradicción y  enunciados cíclicos.  Lo que le confirió  popularidad a este libro e hizo célebre el nombre de Hilbert, mucho más allá del círculo de sus colegas, “fue el nuevo giro metodológico dado a la idea de axiomática”, en opinión de Bernays 1922  y otros grandes matemáticos de su época.

Pero no es el desarrollo axiomático de la geometría plana, la que crea controversia por algo así durante aproximados 2000 años, desde que Euclides sembró la simiente de semejante monumento científico. Es el quinto postulado de esta geometría la que devanó el cerebro de geómetras, matemáticos, lógicos y filósofos de cada acontecer en este período de tiempo, en especial por intentar construir otra estructura axiomática, donde el quinto postulado tuviera otra connotación válida para estudiar sus consecuencias. Sin embargo el oscurantismo medieval ayudó al retraso, en el tiempo, para encontrar la solución. Euclides enunció su quinto postulado con el siguiente juicio. “Si dos rectas, al intersecarse con una tercera, forman ángulos internos unilaterales cuya suma es inferior a dos ángulos rectos, resulta ser que estas dos rectas, al prolongarlas ilimitadamente, se encontrarán por aquel lado en que esta suma es inferior a dos ánulos rectos”. Posteriormente en la geometría de Hilbert se interpretó en forma más sencilla. “Por un punto en un plano, exterior a una recta que pertenece al mismo plano, se puede trazar una y solo una recta paralela a dicha recta, en dicho plano”, axioma que hace posible estudiar todas las propiedades de las figuras geométricas construidas en él a partir de puntos, rectas, semirrectas y segmentos rectilíneos abiertos o cerrados y líneas curvas regulares.

GEOMETRIA DE LOBACHEVSKI O HIPERBÓLICA. Nicolái Ivánovich Lobachevski. Nacido en la ciudad de  Nizhni Nóvgorod, Rusia, el 1 de diciembre de 1792 y estudió en la universidad de Kazán, de la cual fue rector por más de veinte años.

Dedicado al estudio de la matemática, en especial a la geometría,  me imagino que en una noche de desvelo después de haber reflexionado muchas veces sobre el quinto postulado de Euclides, se le encendió el bombillo de la creatividad que todo ser humano normal posee. Habiendo analizado que el tipo de demostración errónea del axioma del paralelismo de Euclides más difundido era, el de la sustitución por otro juicio equivalente. Sin embargo, fue por otro camino, habiendo intentado demostrar el axioma de las paralelas, advirtió que uno de ellos conducía a resultados inesperados. El proceso consistía en utilizar el método de demostración por oposición, que lo condujo a formular el enunciado del quinto postulado Euclídeo por contraposición, de la siguiente manera. “Por el punto exterior a una recta, en el plano, determinado por estos, se pueden trazar dos rectas que no cortan a la recta dada”. Figura 1. Lobachevski dedujo que este postulado formaba un sistema lógico no contradictorio de teoremas capaces de construir la base de una nueva teoría científica, donde desaparece el concepto de recta euclidiana y el plano rectangular infinito, cuya convergencia es cero. Sobre, la no contradicción de esta Geometría trabajó Lobachevski, pero no fue hasta después de su muerte cuando el matemático italiano Beltrami da solución a este problema. Eugenio Beltrami (1835-1900), destacado en el campo de la geometría diferencial y la física matemática, es el primero en demostrar la consistencia de la Geometría Hiperbólica a través de un modelo físico, la pseudoesfera.

                                      

                                                         Figura 1

                                  

 Una Interpretación gráfica del postulado de Lobachevski.

Según Beltrami, las rectas para esta Geometría están representadas por las geodésicas en la pseudoesfera.

Sobre la pseudoesfera, las líneas geodésicas son de dos tipos: curvas que parten del ecuador y suben hasta el infinito y curvas que rodean el "cuello" de la pseudoesfera. En la figura 3. se observa como en esta superficie se cumple el quinto postulado de la Geometría Hiperbólica, pues dada una geodésica y un punto P exterior a ella, por este pasan tres geodésicas que no cortan a la primera. Entre estas tres se podrían dibujar infinitas más, es decir, hay infinitas paralelas. La prueba sobre la consistencia de la Geometría Hiperbólica la da en 1868 en su libro Teoría fundamental de espacios de curvatura constante y lo logra mediante la introducción de tres modelos de Geometría plana no euclidiana.

                                                                                

                     

                                    Figura 2.                                                               Figura 3.

    

                            

                                    Figura 4.                                                   Figura 5.

                 

Si se mira en más detalle el enunciado del nuevo postulado y la comprobación de las geodésicas por Beltrami conduce a la concepción de un plano divergente al infinito, donde las rectas que lo satisfacen son hipérbolas y toda curva divergente de curvatura constante, de ahí el nombre de geometría hiperbólica. Si el plano Euclidiano lo llenamos de infinitas hipérbolas nos quedan dos haces de parte del plano Euclidiano de forma hiperbólica cuyas hipérbolas divergen en su tendencia al infinito, por tal razón se le dio una curvatura negativa para diferenciarla de la euclidiana y de la de Riemann.

GEOMETRIA DE RIEMANN O ELÍPTICA. A Riemann a pesar de la complejidad de su geometría, el análisis fue menos complicado para su fundamentación, pues ya existían las bases de las geometrías Euclidiana e  hiperbólica. Riemann enunció el quinto postulado de Euclides, así:. “Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela”. Lo que condujo a una superficie elíptica convergente positiva cuando la superficie tiende al infinito. Figuras 6, 7 y 8.

En geometría diferencial, la geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Principio que da ideas locales  a las magnitudes de ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de estas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.

Fue propuesta por primera vez de forma general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Las tres geometrías en particular, surgen como convencionales, dando origen a la posibilidad de construir un número indeterminado de geometrías. Todas estas geometrías se tratan sobre la misma base, al igual que una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas que varían de punto a punto, en especial las parametrizadas en el plano cartesiano en dos y tres dimensiones.                                                                              

                   

                               

                               

                                   Figura 6.                                                       Figura 7.               

                      

                         

                                                              Figura 8.

En resumen, en la figura 9 se presenta la imagen más sencilla del fundamento de las tres geometrías, que a partir de Euclides se necesitaron aproximadamente 2000 años para construir sobre ellas, una estructura axiomática similar a la del sabio griego en un plano. Modernamente la geometría hiperbólica y elíptica, tal como lo hizo Euclides se han llevado a tres dimensiones, complicando severamente a estudiantes de matemáticas, en cursos que generalmente son programados para posgrados.

           

                         

                                                                 Figura 9.

Autor: José Roosevelt Nivia Montoya.

Fecha: 19/07/2020